외접원과 삼각형의 넓이를 이해하는 방법

외접원과 삼각형의 넓이 공식

삼각형과 원은 기하학에서 가장 기본적이고 중요한 개념 중 하나입니다. 이 중에서, 외접원과 삼각형의 관계는 특히 매우 중요합니다. 외접원은 삼각형을 둘러싸는 원으로, 삼각형의 세 변이 원 위에서 만나는 점을 중심으로 합니다. 이번 글에서는 외접원과 삼각형의 넓이 공식에 대해 자세히 알아보겠습니다.

 

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외접원

외접원은 삼각형을 둘러싸는 원으로, 삼각형의 세 변이 원 위에서 만나는 점을 중심으로 합니다. 즉, 삼각형의 각 꼭지점에서 외접원에 내린 수선의 길이는 모두 같아야 합니다. 외접원의 반지름을 R이라고 하면, 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라고 했을 때, 외접원의 지름은 a, b, c 중 가장 긴 변과 같으며, 반지름 R은 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다.

외접원과_삼각형의_넓이_공식

 

R = (abc) / (4Δ)

여기서 Δ는 삼각형의 넓이를 나타냅니다. 이 공식에서 알 수 있듯이, 외접원의 반지름은 삼각형의 넓이와 세 변의 길이에 의존합니다. 삼각형의 넓이 공식 삼각형의 넓이를 구하는 가장 기본적인 공식은 밑변과 높이를 이용하는 것입니다. 삼각형의 밑변을 b, 높이를 h라고 했을 때, 삼각형의 넓이는 다음과 같습니다.

A = 1/2 bh

이러한 삼각형의 넓이 공식은 매우 간단하지만, 모든 삼각형에 적용할 수 있는 것은 아닙니다. 따라서 다른 방법으로도 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

 

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외접원과 삼각형의 넓이 공식

외접원과 삼각형의 넓이 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식입니다. 이 공식은 다음과 같습니다.

A = (abc) / (4R)

이 공식에서 R은 외접원의 반지름을 나타냅니다. 이러한 외접원과 삼각형의 넓이 공식은 삼각형의 세 변의 길이만 알면 넓이를 구할 수 있기 때문에 매우 유용합니다.

 

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외접원과 삼각형의 넓이 공식 증명

외접원과 삼각형의 넓이 공식을 증명해보겠습니다. 우선, 삼각형의 넓이를 밑변과 높이를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

A = 1/2 bh

이제 삼각형의 밑변을 a, 높이를 h로 두고, h와 a 사이의 각을 θ라고 하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

h = b sin θ

여기서 b는 a의 반대변을 나타냅니다. 이제 외접원의 지름을 a로 두고, 삼각형의 내각과 외각의 합을 이용하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

θ + α + β = 180°

여기서 α와 β는 각각 삼각형의 다른 두 내각입니다. 이제 α와 β에 대해 코사인 법칙을 적용하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

b cos α = c cos β

이제 이 식을 이용해 b를 다음과 같이 나타내면,

b = (c cos β) / cos α

h = b sin θ을 이용해 h를 다음과 같이 나타내면,

h = (c sin β sin θ) / cos α

이제 삼각형의 넓이를 밑변과 높이를 이용해 나타내는 공식에 대입하면,

A = 1/2 bh
= 1/2 (c sin β sin θ) / cos α

이제 코사인 법칙을 이용해 cos α를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

cos α = (b² + c² - a²) / 2bc

이를 이용해 위의 식에 대입하면,

A = 1/2 (c sin β sin θ) / ((b² + c² - a²) / 2bc)
  = abc sin θ / (2(b² + c² - a²))

이제 삼각형의 외접원의 지름을 a로 두고, 반지름을 R로 나타내면,

R = (abc)

이를 이용해 위의 식에 대입하면,

A = abc sin θ / (2(b² + c² - a²)) = (abc) / (4R)

따라서 삼각형의 넓이를 구하는 공식인 A = (abc) / (4R)를 증명할 수 있습니다.

 

 

외접원과 삼각형의 넓이 공식 사용 예시

외접원과 삼각형의 넓이 공식은 삼각형의 넓이를 구하는데 매우 유용하게 사용됩니다. 다음은 이 공식을 사용하는 예시입니다.

 

예시: 삼각형 ABC의 넓이 구하기

삼각형 ABC에서 AB = 3, BC = 4, AC = 5일 때, 삼각형 ABC의 넓이를 구해보겠습니다. 우선, 외접원의 반지름을 구해야 합니다. 이를 위해, 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 이용해 삼각형의 내각을 구하면,

cos A = (b² + c² - a²) / 2bc
      = (4 + 9 - 25) / (2 × 4 × 3)
      = -1/3

여기서 A는 삼각형 ABC의 각 A를 나타냅니다. 따라서,

A = cos⁻¹(-1/3) ≈ 109.47°

위와 같이 삼각형의 내각을 구한 후, 삼각형의 외접원의 반지름을 다음과 같이 구할 수 있습니다.

R = (abc) / (4A) = (3 × 4 × 5) / (4 × 109.47°)
  ≈ 1.44

이제 외접원의 반지름을 이용해 삼각형 ABC의 넓이를 구할 수 있습니다.

A = (abc) / (4R) = (3 × 4 × 5) / (4 × 1.44)
  ≈ 5.83

따라서, 삼각형 ABC의 넓이는 약 5.83입니다.